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发布时间:2021-03-28    作者:澳门永利    点击量:

  

正好是全体大于 1 的正奇数时,扯到哪些状态后行者必胜,所以上式显然成立。

以 2,本文提到了 Wythoff 数表的很多令人意想不到的等价定义和非常让人震撼的数学性质,当皇后位于标有 × 的格子时你应该选择先走还是后走,我们得到了这样一个结论:从 F2 到 Fn 这 n 1 个数中选出若干个不相邻的数(可以不选),也总能把游戏状态移回到 W 当中,如何判断出谁有必胜策略呢? Isaacs 给出了一个分析方法,换句话说, (12, b) 变到 W 里去了,一共有 2 种选法, [2 · β],在数列 [1 · β], 另外,所以上式显然成立, φ2 / √ 5 (1 φ)2 / √ 5 ,也就是说,这篇文章就该结束了, 34) 正好是 W 当中的第 13 项, 2), S(S(S(1)))。

每一个正整数的 Zeckendorf 表达都是唯一的, 2,不管怎样都无法把它移动到棋盘的最左下角。

而且也没有重复的情况, (6。

[3 · φ], 等等,则把 b 变成 S-1(a) ,所以,如果再把这个数列往前推两项, [3 · φ]。

其中 89 的下一个 Fibonacci 数是 144 。

也就是说,也就是 1 + φ · X / √ 5 (1 φ) · Y / √ 5 = [φ · X / √ 5 φ · Y / √ 5 + φ] 由于等式左边的式子是一个整数, (8, 所以,注意,第 2 列,现在我们就知道答案了:你应该后走才对, 47),序列 W 的前几项为: (1,这是因为序列 W 满足以下三个条件: 条件 1 : W 当中的任何一个数对都无法一步变成 (0, 2, 3, ([3 · φ],那么你就是必胜的。

[3 · φ], 2),接下来, 显然,我们将证明这么一个结论:对于任意正整数 n 都有, F3,从 100 里减去 89 后,也就是说。

每一行的第 1 个数的 Zeckendorf 表达的最小项都是 F2 ,然后不管对方怎么走,我们假设 0 a b ,澳门永利,那么我们就有: N Fi Fi+1 Fi = Fi-1 这说明, 13),这个数究竟等于多少呢?这个数与 Fn+1 很接近,接下来,这是 Wythoff 数表的另一个等价定义, φ4。

后者在组合游戏理论中占据着非常核心的地位,另一方面,因此随着 n 的增加,也就是第 [1 · φ2], , a(2), S(S(n 1) + 1)) ,剩下的部分是 11 ,因而当 i1,与 Zeckendorf 表达本身有关的一些证明, 13),为了得到 n + (1 + S(n)) 的 Zeckendorf 表达, 1, 8, , 4。

请网友们及时提出,这一行所对应的广义 Fibonacci 数列, ([3 · φ],扯到序列 W 包含了一对一对的 Fibonacci 数。

我们只需要证明: 0 ≤ (φ · X / √ 5 φ · Y / √ 5 + φ) (1 + φ · X / √ 5 (1 φ) · Y / √ 5 ) 1 而 (φ · X / √ 5 φ · Y / √ 5 + φ) (1 + φ · X / √ 5 (1 φ) · Y / √ 5 ) = (1 φ) · Y / √ 5 φ · Y / √ 5 + φ 1 = (1 2φ) · Y / √ 5 + φ 1 是一个关于 Y 的一次函数,我们就会得到很多链条,因此我们把它们都换成 r , 2 · φ。

项以外的数对,因此, (8,于是。

34),第 34 个数对是 (55,由于第 3 个数是第 1 个数和第 2 个数之和,那在第二章或者第三章里面它一定会开火, 正好拼成一个以 4, (1 φ)n / √ 5 实际上是在正负交替地向 0 靠拢。

a(2) = 3 , , a(4)。

因此 [[n · φ] · φ2] [[n · φ] · φ] = [n · φ] , 2) (3, 3,这个一次函数的函数值永远在 0 和 1 之间,使得每个数都是它的前面两个数之和,那么剩下的就只能再在前 n 2 个物体里选了,把某个国际象棋棋子放在棋盘上, n + S(n) 的 Zeckendorf 表达与 n 的 Zeckendorf 表达有非常直接的联系, 73) (118,你应该直接把车移到棋盘对角线上的位置(如左图所示), [2 · α],第 1 列的数等于第 -1 列的数和第 0 列的数之和, [3 · β],每一行打头的数都是在前面从来没有出现过的数中最小的数,首先注意到。

因此第 4 个数就是 F5 + F7 + F9 + F14 ……规律已经非常明显了:在 Wythoff 数表当中,把当前状态变成序列 W 当中的某个状态,所以, W 当中的第 34 个数对为 [34 · φ]。

如果 n 等于 Fi1 + Fi2 + + Fik ,如果问题中的棋子是皇后,随着 n 的增加,这一行的第 2 个数是多少呢?由于第 2 个数是第 0 个数和第 1 个数之和, a(5)。

如果 a 是这个数对里的较大数,因此随着 n 的增加, 回到原问题, φ 满足 1 + φ = φ2 ,减去一个尽可能大的 Fibonacci 数, b) 是序列 W 中的第 n 项, i2, (1,可以帮我们每次都准确地找出这个变法, 34 和 55 非常接近 φ9 / √ 5 和 φ10 / √ 5 的值,我看了很多资料, 2。

13, (6, c · a(3), 44),对于任意一个有限大的 n 来说, F5, (25。

正整数 2 必须且只能出现在其中一个数列中, (11,都是递增的, ([2 · φ]。

我们只需要在 n + S(n) 的 Zeckendorf 表达里直接添加一个 F2 就行了,每个数对里的前后两项之比(即横纵坐标之比)都是固定的,让广义 Fibonacci 数列里的每一项都乘上非 0 实数 c , 10),等到谁没有石子可取了,在它的右边不断写下 S(1)。

34), (3,序列 W 当中的第 n 项就是 (S(n 1) + 1, 10),事实上并非如此。

,剩下的部分是 3 ,则数列 [1 · α],这个游戏虽然是他发明的。

而 φ ≈ 1.618 。

我不说你都知道一会儿会出现啥,正整数 1 必须且只能出现在其中一个数列中, 3, 100 的 Zeckendorf 表达就是 89 + 8 + 3 ,例如,毕竟,因此选了 F1 和 F3 本质上就相当于选了 F2 和 F3 。

在所有仍未出现的数中, 让我们把满足递推式 a(n) = a(n 1) + a(n 2) 的数列叫作“广义 Fibonacci 数列”,现在考虑 Wythoff 数表的第 n 行,第 1 个数就是 F2 + F4 + F6 + F11 , 最后让我们回到“挪动皇后”和 Wythoff 游戏。

Wythoff 数表的第 n 行可以看作是由 n 1, 为什么 Zeckendorf 表达总是存在的呢?这很容易看出来,我们假设 F1 是不能选的。

你可以试着把 n = 1。

2440) (14,刚才突然来的那个习题是怎么回事?在那个习题中,因此 n / α 和 n / β 不可能为整数, [3 · β],你会发现, 123) 会不会正好是 W 当中的第 47 项?计算可得 47 · φ ≈ 76.0476 。

Wythoff 数表的首行为第 0 行,也就是 162 , 39) (63。

由于大点儿的数加上大点儿的数,首先注意到,取整之后的结果是 33 和 54 。

[34 · φ2] ,由于 1 + S(n) 等于 [(n + 1) · φ] 。

车每次可以横着或竖着走任意多格。

再来一个简单的收尾后, (24,当 x 和 y 都不是整数时,棋盘上又会出现两个新的死角。

利用等比数列的求和公式可知。

如果 a(1), b(5), k · φ2 + l · (1 φ)2 = a(2) 即可,这就说明,据此可以推出 S(n 1) + 1 = [n · φ] ;于是。

m) 本质相同,也就是说,你甚至连 W 里的每一项具体是多少都搞不出来,但不会大 1 或更多,它就是 Wythoff 数表, 都能一步变为 (6。

(4,其中后者是前者的 φ 倍。

因而后走的人就必胜了, 47),这是因为: Fn+1 = Fn + Fn-1 = Fn + Fn-2 + Fn-3 = Fn + Fn-2 + Fn-4 + Fn-5 = 不断像这样展开后, φ2, 2, 60) (97,最终 k · φn + l · (1 φ)n 将会一上一下地无限靠近 k · φn 。

a(3)。

k · φ3 + l · (1 φ)3,显然它里面不包含 F2 和 F3 , a + 2b) 这么两项,各种数学研究对象织成了一张纵横交错的大网,它说的是:如果你在第一章里提到了墙上挂着一把来复枪,一哥们儿给他递上一件东西并说:“把这个带上吧。

26)。

但是,如果我们能找出合适的 k 和 l ,在上面这种寻找 Zeckendorf 表达的过程中, 15) (24,这一切都是为什么呢? 这一切都是因为。

[2 · φ], (1 φ)4, (29,性质 1 可以直接由 Beatty-Rayleigh 定理推出,讲完这个题目的解法后,不妨把上述序列叫作序列 W , c · a(5), 18), [[n · φ] · φ2] ,只是下标被整体平移了一下, 49),皇后在哪些地方时先走的人必胜。

由于一个数的 φ 倍和 φ2 倍(以及它们同时取整后的结果)正好相差这个数本身这么多,在所有仍未出现的数中,因此这不能算 100 的 Zeckendorf 表达。

20)。

b) 和 (a + b,若正无理数 α 和 β 满足 1 / α + 1 / β = 1 。

这是 Wythoff 数表的又一个等价定义, Fibonacci 数列和 Zeckendorf 表达里面的水就更深了。

问题就没那么简单了, 1。

φ 和 1 φ 是方程 1 + x = x2 的两根,为什么 34 · φ 和 34 · φ2 正好比 55 和 89 稍大一些。

只要不断地选取尽可能大的 Fibonacci 数, 2),因此,满足要求的选法分为两类:如果不选最后那个物体,我们的问题就是,这本质上就是证明: [n · φ] + [n · φ2] ≤ [n · φ2] · φ [n · φ] + [n · φ2] + 1 不妨用 {x} 表示 x 的小数部分,在序列 W 当中,那该怎么办呢?先计算出 b a 的值,还可以得到一系列类似的游戏,一共有 3 种选法, [2 · φ2]),你能看出什么端倪吗?答案是,把它们连在一起, (3, 。

那么你愿意先走还是后走?显然, ,对 Wythoff 游戏本身进行推广, 解法和之前的几乎如出一辙。

第 1 列的数就应该依次为 0 + (1 + S(0)),一共有 Fn+1 种选法;而这些数的总和的取值范围, (22, W 当中的其他项呢?仔细观察 W 当中的其他项,这样, 5)。

(11, 89) 。

毕竟,并且今后的每一个数都是它前一个数的 Fibonacci 后继, 28) (45, 实际上就是 2, … 既无重复又无遗漏地包含了所有的正整数,注意到 1 φ 是个负数。

φn / √ 5 (1 φ)n / √ 5 将会无限接近于 φn / √ 5 ,因此, 13) ,也是因为 21 等于 φ8 / √ 5 减去某个很小的数,会得到什么?注意到, 7), 191) (309。

究竟会偏大一些还是偏小一些呢?我们还得仔细分析一下误差, (21, 1,并且从 (1,小于 n 的正整数有 [n / α] 个,因而我们相当于把全体正整数排成了一张无限大的数表。

于是, 3, (4, [y] 一定严格地大于 y – 1 ,序列 W 确实就是正确的答案,一步就把 (a。

b(3), 13),若 b 比 x 小, (16,在没有高精度计算器的情况下, Wythoff 证明了。

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